無論是哪個經濟領域，只要討論到數量競爭就不得不提到古諾競爭(Cournot Competition)。這個模型是假設競爭廠商生產同質產品，並且由於廠商家數不多且固定，所以每家廠商都具有市場定價能力，而且同時訂定出要生產多少產量。所有的廠商都希望獲得最大的利潤，並預期自己在訂定產量時，不會影響到對手的決定。

一般來說，所有的古諾競爭模型都是建構在靜態環境下，來決定各自的最適產量¹。如果討論到不確定時，總是將不確定性加諸在需求函數上²,³，然後便是數學推導與找出參數範圍，最後再來個外生變數的變化如何改變最適數量或最適利潤。如果你有注意到所有文獻當中怎樣將不確定性加在需求函數上，那麼，你就會發現 —- 來個誤差 —- 吧～～就這麼簡單。

事實真的是如此嗎？

當要討論不確定性時，也就是討論隨機性，這是需要機率概念在裡頭。而機率與值的關係就會牽扯到機率分配，如果只設定機率或機率分配，然後挑出係數 - 平均數，或再加上變異數 - 來討論競爭模型的均衡，這樣真的是足夠嗎？

如果我跟隨的是真正的機率分配去產生符合數學模型的古諾均衡，那麼這是單點的可能值，以及對應之機率。而不可能變成文獻上所說的只有 $ D(p, \epsilon $ )的符號，就可以表達出隨機下的結果。

1. 傳統模型

對此，我使用最簡單的古諾模型，假設兩家廠商，分別為廠商1與廠商2，他們面對的需求函數為

$ P = a - (q_{1} + q_{2} ) $

他們的成本函數為

$ C(q_{i}) = c \times q_{i} $

其中 $ i=1,2 $，$a$與$c$為隨機變數。對於廠商i來說，利潤函數為

$ \pi_{i} = P \times q_{i} - C(q_{i}) $

根據古諾模型的求解方式，可以得到最適產量為

$ q_{i}^{*} = \frac{q-c}{3} $

最適總產量為

$ Q^{*} = \frac{2 \times (a-c)}{3} $

最適價格為

$ P^{*} = \frac{a+2 \times c}{3} $

2. 不確定性下的結果

我希望表現出真正的不確定性下古諾模型的均衡結果，那麼就得從機率分配著手。一般來說，所有文獻都喜歡將需求函數改為 $ P = a - (q_{1}+q_{2})+\epsilon $，這相當於 $ P = ( a+ \epsilon ) - (q_{1}+q_{2}) $。當然，我可以依循這樣的模型開始，但是，由於只有兩個隨機變數a與c，直接將a與c視為獨立隨機變數，產生值與機率，進行隨機變數轉換，最後得到的該是最適產量、最適價格、最適利潤的機率分配！

我們設定

$\begin{matrix} X_{1} = a ~ semi circle (10, 5) \\ X_{2} = c ~ arcsin(2.5, 2.5) = Y_{2} = Z_{2} = W_{4} \\Y_{3} = X_{1} - X_{2} = a - c \\Z_{3} = \frac{Y_{3}}{3} = W_{1} \\Z_{4} = 2 \times \frac{Y_{3}}{3} \\W_{2} = Z_{1} - Z_{4} = a - Q^{*} \\W_{3} = Z_{2}\times Z_{3} \\U_{1} = W_{1}\times W_{2} = Totol Revenue \\U_{3} = W_{2} - W_{4} \\V_{1} = U_{1} - U_{2} \end{matrix}$

2.1. $X_{1}$與$X_{2}$的關係

當設定好參數$a$與$c$後，先了解隨機變數之間的關係，所以求出$a$與$c$的聯合機率密度函數與累積機率密度函數。下圖的左方為聯合機率分配圖，右方為累積聯合機率分配圖。觀察左圖可發現，若從$X_{1}$角度看過去就是半圓分配，而從$X_{2}$角度看過去確實為arcsin分配。

若給定$X_{2}$的值，產生$X_{1}$的條件機率，$X_{1}｜X_{2}$ 的機率分配亦為半圓分配，如下圖所示。

若給定X1的值，可以產生X2的條件機率，X2｜X1 的機率分配亦為arcsin分配，如下圖所示。

2.2. 最適結果的機率分配

為了求得最適結果，我們必須從a與c隨機變數的機率分配開始進行變數轉換。對最適個別產量的分子為 $a-c$，所以可以先產生 $ a-c $ 的機率分配，如下圖。

此機率分配當中顯示，眾數為7.694346133，出現機率為11.9155621%。平均數為7.49979，標準差為3.0618，變異係數為0.40825。

下圖為最適個別產量的機率分配，個別產量為 $ q^{*} $。在最適個別產量的機率分配當中顯示，眾數為2.490959283，出現機率為35.7639421%。平均數為2.4999，標準差為1.02058，變異係數為0.40825。

下圖為最適總產量的機率分配，總產量為 $ Q^{*} $。在最適總產量的機率分配當中顯示，眾數為5.05575089，出現機率為17.8746632%。平均數為5.00005，標準差為2.04118，變異係數為0.40823。

![最適總產量(Z4)的機率分配]

下圖為最適價格的機率分配，最適價格為 $ P^{*} $。在最適價格的機率分配當中顯示，眾數為5.012367443，出現機率為24.3462422%。平均數為5，標準差為1.44333，變異係數為0.28867。

![最適價格(W2)的機率分配]

下圖為單位利潤的機率分配，單位利潤為 $ P^{*}-c $。在單位利潤的機率分配當中顯示，眾數為2.583423102，出現機率為35.741681%。平均數為2.50005，標準差為1.02058，變異係數為0.40823。

下圖為總收入的機率分配，總收入為 $P^{} \times Q^{}$。在總收入的機率分配當中顯示，眾數為6.71837395，出現機率為5.7479445%。平均數為12.49893，標準差為6.32641，變異係數為0.50616。

下圖為總成本的機率分配，總成本為 $c \times q^{*}$。在總成本的機率分配當中顯示，眾數為0.03085986，出現機率為64.5139922%。平均數為5.20849，標準差為3.96642，變異係數為0.76153。

下圖為最適利潤的機率分配，在機率分配當中，眾數為3.379438179，出現機率為8.578609%。平均數為7.29166，標準差為5.24841，變異係數為71.978%。

Friedman, J. (1982) “Oligopoly Theory,” Handbook of Mathematical Economics, ch2, Vol. 2, 491-534. ↩
Vives, X. (1984) “Duopoly Information Equilibrium: Cournot and Bertrand,” Journal of Economic Theory, 34, 71-94. ↩
Klemperer, P.D. and Meyer, M.A. (1989) “Supply Function Equilibriua in Oligopoly ulnder Uncertainty,” Econometrica, 57(6), 1243-1277. ↩

隨機Cournot競爭模型

1. 傳統模型

2. 不確定性下的結果

2.1. \(X_{1}\)與\(X_{2}\)的關係

2.2. 最適結果的機率分配