在前篇文章中介紹指數分配，這篇文章則是從指數分配和其他分配關係，進行模擬比對

1. 與均勻分配關係

假設兩獨立隨機變數，$X_{1}, X_{2}$，分別服從指數分配，參數為$\lambda$。

\[Y=\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}} \sim U(0,1)\]

2. 與雙倍指數關係

假設兩獨立隨機變數，$X_{1}, X_{2}$，分別服從指數分配，參數為$\lambda$。

\[Y=X_{1}-X_{2} \sim Laplace(\lambda) \\ f_{Y}(y)=\frac{\lambda}{2} \, e^{-\lambda \vert y \vert}\]

\[Y=\frac{X_{1}}{X_{2}} \sim Pareto(1) \\ f_{Y}(y)=\frac{1}{(1+y)^{2}}\]

此處的柏拉圖分配為型II，又稱為Lomax distribution。直接使用此分配的機率分配模擬器公式得到 Y2。

\[Y= e^{-X} \sim Pareto(\lambda) \\ f_{Y}(y) = \lambda \, y^{\lambda - 1}, \, 0< y < 1\]

下圖中的 Y2 為直接使用柏拉圖1分配模擬數據。

\[Y= 1- e^{-X} \sim Pareto(\lambda) \\ f_{Y}(y) = \lambda \, (1 - y)^{\lambda - 1}, \, 0< y < 1\]

下圖中的 Y2 為直接使用柏拉圖3分配模擬數據。

\[Y= e^{X} \sim Pareto(\lambda) \\ f_{Y}(y) = \lambda \, y^{-\lambda - 1}, \, y > 1\]

下圖中的 Y2 為直接使用柏拉圖2分配模擬數據。

令$X$服從指數分配，參數為$\lambda$。

\[Y=\sqrt{X} \sim Rayleigh(\frac{1}{\sqrt{2\,\lambda}}) \\ f_{Y}(y)= \frac{2 \,y}{\sqrt{2\,\lambda}} \, e^{\frac{-y^{2}}{\sqrt{2\,\lambda}}}\]

下圖中的 Y2 為直接使用雷利夫分配模擬數據。

假設兩獨立隨機變數，$X_{1}, X_{2}$，分別服從指數分配，參數為$\lambda = 1$。

令logistic分配為 $Y_{2}$，參數為 $\mu$ 和 $\sigma$。在Excel操作中需要加入logsitic分配的參數，分列在 G6 和 G7 儲存格。

\[Y = \mu - \sigma \times ln(X_{1} / X_{2}) \sim logistic(\mu, \sigma)\]

下圖中的 Y2 為直接使用logistic分配模擬數據。